Symplectic non-convexity of toric domains
Non-convexité symplectique des domaines toriques
Résumé
Convexity plays a special role in symplectic geometry, but it is not a notion that is invariant by symplectomorphism. In a seminal work, Hofer, Wysocki and Zehnder showed that any strongly convex domain is dynamically convex, a notion that is invariant by symplectomorphism. For more than twenty years, the existence or not of dynamically convex domains that are not symplectomorphic to a convex domain has remained an open question. Recently, Chaidez and Edtmair answered this question in dimension 4. They established a "quantitative" criterion of symplectic convexity and constructed dynamically convex domains that do not satisfy this criterion. In this thesis, we use this criterion to construct new examples of such domains in dimension 4, which have the additional property of being toric. Moreover, we estimate the constants involved in this criterion. This work in collaboration with Jean Gutt and Jun Zhang was later used by Chaidez and Edtmair to solve the initial question in all dimensions. Furthermore, in collaboration with Jean Gutt, Vinicius G.B.Ramos and Jun Zhang, we study the distance from dynamically convex domains to symplectically convex domains. We show that in dimension 4, this distance is arbitrarily large with respect to a symplectic analogue of the Banach-Mazur distance. Additionally, we independently reprove the existence of dynamically convex domains that are not symplectically convex in dimension 4.
La convexité joue un rôle particulier en géométrie symplectique, pourtant ce n'est pas une notion invariante par symplectomorphisme. Dans un article fondateur, Hofer, Wysocki et Zehnder ont montré que tout domaine fortement convexe est dynamiquement convexe, une notion, qui elle, est invariante par symplectomorphisme. Depuis plus de vingt ans, l'existence ou non de domaines dynamiquement convexes qui ne sont pas symplectomorphes à un convexe est restée une question ouverte. Récemment, Chaidez et Edtmair ont répondu à cette question en dimension 4. Ils ont établi un critère "quantitatif" de convexité symplectique puis ont construit des domaines dynamiquement convexes qui ne vérifient pas ce critère. Dans cette thèse, nous utilisons ce critère pour construire de nouveaux exemples de tels domaines en dimension 4, qui ont la propriété additionnelle d'être torique. De plus, nous estimons les constantes intervenant dans ce critère. Ce travail en collaboration avec Jean Gutt et Jun Zhang a été ensuite utilisé par Chaidez et Edtmair pour résoudre la question initiale en toute dimension. Dans un second temps, en collaboration avec Jean Gutt, Vinicius G.B.Ramos et Jun Zhang, nous étudions la distance des domaines dynamiquement convexes aux domaines symplectiquement convexes. Nous montrons qu'en dimension 4, celle-ci est arbitrairement grande aux yeux d'un analogue symplectique de la distance de Banach-Mazur. Au passage, nous reprouvons de manière indépendante l'existence de domaines dynamiquement convexes non symplectiquement convexes en dimension 4.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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